Quadrati magici e diabolici

Un quadrato magico è un quadrato composto da caselle ognuna delle quale contiene un numero naturale intero. Tali numeri sono in sequenza e affinché il quadrato sia considerato magico, la somma dei numeri delle colonne delle righe e delle due diagonali principali deve essere costante.

Il valore di tale costante si ricava dall'ordine del quadrato attraverso questa formula:

[(n²+1)/2] x n

dove n (ordine del quadrato) indica il numero di caselle da cui è costituito ogni lato del quadrato.

Il quadrato magico più piccolo è di ordine 3, per esempio:

4	3	8
9	5	1
2	7	6

la cui costante è 15.

Un quadrato magico resta tale se si opera su di esso con una delle seguenti trasformazioni semplici:

• rotazione intorno al centro di ±90° , ±180° , ±270°;
• simmetria rispetto all'asse orizzontale o verticale;
• simmetria rispetto all'una o all'altra diagonale;
• sostituzione di ogni numero col suo complementare rispetto al numero n²+1 (dove n è l'ordine del quadrato) (http://www.math.it/magici/quadrati_magici.htm)

I quadrati diabolici sono quadrati magici che oltre ad avere costante la somma delle righe delle colonne e delle due diagonali principali, hanno costanti anche le somme delle diagonali secondarie, come ad esempio questo quadrato diabolico di ordine 4:

15 10 3 6
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12

Se sommiamo i quattro numeri che costituiscono due semi-diagonali opposte come ad esempio: 4, 10, 13 e 7 oppure 3, 9, 14 e 8 vediamo che otteniamo sempre la costante che per un quadrato di ordine 4 vale 34.
Anche la somma di un numero d'angolo coi tre numeri della diagonale opposta dà sempre la costante del quadrato:
15, 8, 2, 9 oppure: 6, 4, 11, 13

I quadrati diabolici hanno tantissime altre somme uguali alla costante come ad esempio la somma dei 4 numeri agli angoli (15, 6, 1, 12).
In questo quadrato diabolico ci sono ben 86 modi diversi di ottenere la costante!

Unendo i numeri da 1 a 16 si ottengono figure geometriche caratterizzate da una notevole simmetria come potete vedere qui: http://books.google.it/books?id=5FZbhdMCkdQC&pg=PA309&lpg=PA309&dq=quadrati+diabolici&source=web&ots=1_R1Og89ul&sig=xldQ5TIgQ_ENv4NGPDNU6ypNyv4&hl=it&sa=X&oi=book_result&resnum=2&ct=result#PPA310,M1

Questa pagina è tratta da un bellissimo libro che non può mancare nella biblioteca degli appassionati di matematica. Il suo titolo è:

"Matematica dilettevole e curiosa"

di Italo Ghersi ed. Hoepli

Esistono metodi anche semplici per costruire i quadrati magici, soprattutto per quelli di ordine dispari. Uno di questi metodi è dovuto a De La Loubère e lo troverete spiegato a pag. 294 del libro summenzionato.

I quadrati magici si diffusero in Europa all'inizio del quindicesimo secolo; un quadrato magico compare infatti già in una delle migliori incisioni di Albrecht Duerer, Melancholia (1514), ed è il quadrato proveniente dall'India leggermente modificato:

http://www.princeton.edu/~his291/Jpegs/Durer_Melancolia.JPG

Anni fa, quando ero giovane, ero riuscita a costruire diversi quadrati diabolici con un metodo di mia invenzione.